第726章 希尔伯特第一问 (第2/2页)
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就是有一点偏科，脑袋里没多少实用的生活常识。
不过这也没关系，反正有大善人请她免费吃饭，这日子过得比贫民窟里可舒坦多了。
知识就是食物，这不是虚指，而是真的能填饱肚子的。
“嗯…的确不算是小呆瓜。”
李恒看了看阿基里斯那对少了几分清澈愚蠢的粉色眼眸，满意地点点头。
如果是之前那个小笨蛋，知道了用幂集公理生成更大的无穷集合的规则，大概就不把连续统问题当回事了。
能明白连续统问题是很困难的难题，这就是很大的进步了，比她那两个随意使用“芝诺的龟”的蠢蛋父母聪明。
“简单来说，康托尔证明了一个可数无穷集?0的所有可能序型的集合是不可数的。”
“这就意味着，还有另外一种截然不同的方法生成无穷集合的无穷等级。”
“将可数无穷集所有可能序型的集合称为z，能够得到以下几个结果。”
“c是所有实数的集合，不可数无穷。
?1是?0的幂集，不可数无穷。
z是?0的所有序型的集合，不可数无穷。”
“c=?1?1=z”
“远比超穷基数更复杂的超穷序数卷入了其中，将这个问题变得困难起来。”
“康托尔想要证明的是，不可数无穷集合z的基数等于?1，这样就可以证明在?0和c之间不存在中间的集合。”
“这个问题被称为连续统假设。”
“既然被称作是假设，当然就没有被证明了。”
李恒蹲下身体，伸手戳了戳那个躺平的白发老头。
“康托尔后半生的痛苦与他和那些反对者的战斗有关，比如之前提起过的克罗内克。”
“他是一个聪明的天才，但却不是一个顽强的斗士。”
“除了来自外部的攻击，他后半生痛苦的最大来源就是无法证明的连续统假设。”
“康托尔认为这个问题是他一生最大的失败。”
最大的失败啊…
阿基里斯学着李恒的模样蹲在枣树旁，低头盯着那个眼神呆滞的躺平老头。
创造了集合论和超穷数理论，取得了开天辟地般的成就，却依旧把自己无法解决的问题看做是人生中最大的失败。
聪明的天才也未必就过得比蠢笨的小呆瓜幸福，至少她那对没心没肺的父母就过得比这个住进精神病院的可怜老头好多了。
活着的时候没有体会到幸福，死后才被世人奉为伟人，对于在痛苦中死去的本人又有什么意义呢。
“天才也有天才的苦恼啊。”
阿基里斯轻声一叹。
因为是天才，所以对自己的要求自然也是和普通人不一样的。
她以前对自己的要求只有吃饱穿暖就够了，这就已经足够幸福。
但随着自身处境的变化，也渐渐的开始渴求更多的东西。
每个人对自己的期待都是不一样的，聪明人也依旧是人，有着无法解决的问题。
“做个躺平老头，每天晒晒太阳，闲来吃两颗红枣，不也挺好的么”
李恒对着地上的躺平老头道。
一直保持着眼神呆滞状态的白发老头这时终于有了些许反应，他动了动眼珠子，目光聚焦在那颗光秃秃的枣树上。
“额，他种的红枣都被我们两个给吃光了。”
阿基里斯看着老头的目光有些不太好意思，这棵枣树可不是别人扔在垃圾桶里不要的剩菜剩饭。
“不用觉得不好意思，世界上的一切都是我创造的，这老头和他种的红枣也一样。”
“再见，躺平老头。”
李恒从地上直起身来，那棵光秃秃的枣树也在这时又一次长满了红枣。
“康托尔的故事到此为止，但有关于连续统的问题还远远没有结束。”
“下一个想要解答这个问题的人是希尔伯特，连续统问题就是着名的希尔伯特第一问。”
时空变换，精神病院消失不见，取而代之的是一条清澈的小河，河边的草地上伫立着一块墓碑。
“墓碑”
阿基里斯看着墓碑上的黑白照片，心中略微有些无语。
毕达哥拉斯在追寻无穷之路上变成了一只怪物，康托尔成了精神病院里的躺平老头。
希尔伯特更惨，只剩下了一块墓碑和一张黑白照片，墓穴里空空荡荡什么都没有。
“嗯，墓碑。”
李恒走到墓碑前，将手中那片从康托尔的枣树上取下的绿叶放到墓碑前。
阿基里斯微微眯起眼睛，她发现绿叶上写着两句新的文字。
『我们必须知道，我们必将知道。』
这是希尔伯特的名言，以此作为对那些信奉不可知论之人的反击。
他认为每一个确定的数学问题必定能得到一个准确的回答：
或者给所提问题以实际的肯定答案；或者证明问题是不可能的，因此所有企图证明它成立的努力必然失败。
所有的数学问题或者为真，或者为假，不存在其他情况。
李恒看向阿基里斯肩膀上写着“排中律”字样的小便签。
“在数学中有两种证明，一种叫做构造性证明，它会给出具体的例证。”
“另一种则叫做非构造性证明，或者称作存在性证明，它所使用的规则就是排中律。”
“希尔伯特就是非构造性证明的大师。”
“利用排中律和反证法，即使并不知道具体的对象到底是什么，也能证明它存在。”
“连续统问题的本质就与排中律有关。”
“戴德金分割用有理数分割定义实数，并没有给定一些得以构造出集合a和b的数学规则。”
“『如果数轴可以划分为a和b』，却没有给出任何可以实际构造出这些集合的方法或程序，”
“无论如何，这些集合实际上是不可构造或验证的。”
“不仅如此，康托尔证明实数集c、自然数集的幂集?1等等集合是不可数无穷时使用的也是反证法，依赖于排中律。”
阿基里斯从那写着“我们必须知道，我们必将知道”的叶片上收回目光，看向自己肩膀上贴着的便签。
“排中律有问题”
在不可数无穷上遇到的困难似乎就是源于排中律。
一个数学命题为真，或者为假，这应该是理所当然的。
“没错，排中律就是第三次数学危机的源头。”
“更深入的说，是排中律隐藏着的人类最基础的逻辑问题。”
李恒抬手敲了敲墓碑上的黑白照片道：
“说谎者悖论、上帝全能悖论、理发师悖论等等。”
“所有这些悖论的本质都是自我指涉问题。”
“『我说的这句话是谎话』，这句话是真是假”
如果说的是真话，这句话就是谎话。
如果这句话是谎话，那么这句话就是真话。
这个古老的逻辑悖论就是第三次数学危机的根源。
它在康托尔的朴素集合论中被放大，成为了一个必须解决的问题。
